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早茶夜读 | 天道有常,几何为王

2018-08-10 14:17:35来源:

原标题:早茶夜读 | 天道有常,几何为王

第三十八夜 | 欧几里得《几何原本》

至晦至明,至繁至简,至难至易

文|阿飞

大家好,这里是早茶夜读。今天为大家带来一本特别的书,欧几里得的《几何原本》。毋庸置疑,这是一本数学著作,希望我能讲清楚而你能听明白。

这本书距今已经2000多年了,我第一次读到是在大学的读书馆,印象极深,旁边是一本类似当代数学未解难题或猜想之类的书,当时很是着迷地做了好一阵习题。不知道有多少中国人读过《原本》这本书,在西方,这本书是二十世纪前精英知识分子必读的经典,地位就像中国的《四书》。说句题外话,现在国内的家长让孩子读论语,三字经什么的,不如读《几何原本》,要知道天道确实有常,人心其实难测,毕竟《原本》里论述的公理比“人之初性本善”或“一生二二生三三生万物”好理解多了。

《原本》的内容现在来看,大部分是初高中几何和代数的深度。一开始,欧几里得先定义了23个几何概念,例如点、线、面、角、各种三角形、四边形、圆等。然后,欧几里得引入本书中最关键的要素——公设,公设即公理,是《原本》整个体系最根本的前提。我们来看看这五个公设:1,两点决定一条直线;2,延伸线段可以得到直线;3,圆心和半径决定一个园;4,所有直角都相等;是不是感觉太简单了,都是小学时候认定的公理,你一定觉得不是这样才奇怪吧。好了,第五条公设来了,这就是著名的“平行公设”,如果你关注过,就会知道这条公设后面还有很长的精彩故事。当我们学习平行线的时候,可以有很多种讲法,比如“两条直线之间距离相等”,欧几里得选择了其中一个说法,“同平面内一条直线和另外两条直线相交,若在某一侧的两个内角的和小于两个直角和,则这两条直线经无限延伸后在这一侧相交”。说起来有点拗口,你一画就知道了。

很长时间以来,许多科学家和思想家都视欧式几何为绝对原理,但是欧几里得一直担心的第五公设一直是数学家的争论焦点,他们围绕证明平行公设正确与否发起了攻防挑战。终于在十九世纪初,在否定平行公设的基础上发展出了“非欧几何”,你也可以简单地理解为“平面几何”和“球面几何”,其中最重要的成果是十九世纪数学家黎曼所倡议的“黎曼几何”,这种更广义的非欧几何成为爱因斯坦广义相对论的基础。在摆脱欧式几何的约束之后,整个几何学和数学思想的变化有了飞跃发展,在这段欧式几何与非欧几何的攻防岁月里,发展出许多检讨公设系统的方法,比如还有一个辅助性公设“整体大于部分”,这是不等的基本意义,部分包含在整体中,所以小于整体。然而德国数学家康托在处理无穷的议题时,挑战了这个直观的常识,他证明了偶数和整数的数目一样多,一条直线上的点和一个平面上的点一样多。所有这些讨论和挑战在二十世纪数学基础论战中得以进化和发展,让人类对于理性思考的深度和广度有了更深的理解。

然而到了现在,我们可以为《原本》的欧式几何做新的辩护了。《原本》最令人心折的特质就是它的逻辑推理。所谓推理方法,就是思考时能够从前面的叙述推出后面结论的正确方法。思考推理的方法脱胎于人类的言语方式,古希腊的哲学家运用叙述的真假、有效的推理、准确定义的方法,整理出了推理的规则,建立了完整的逻辑推理体系。欧几里得的伟大之处就在于,他从散落在各处往圣先贤的零散的、经验的、可疑的、片面的数学知识中,挑选出10个直觉就能感知的公理,又运用逻辑推理的方法,串起了400多个数学命题,可以说只要是正确的数学知识,几乎都被欧几里得编织到《原本》这个宏大的知识体系中。

这种逻辑推理方法明晰又严格,干净又漂亮,可以让论证产生强大的说服力和确定性,它和目前盛行的概率统计、随机算法、大数据分析有本质的不同,你说它有大数据学习吗?它有几百万人工标注好的训练数据给它吗?并没有。所以,反观现在的学术风气,各种各样数据集竞赛、刷榜……缺少了内在逻辑推理的大数据学习,只能是鹦鹉学舌而不是归纳演绎、举一反三的乌鸦喝水。

在《经典力学》的绪论里有这样一句话,“物理学依赖于一种基本的信念:物理世界存在着完整的因果链条,即自然界是统一的”。爱因斯坦说宇宙的终极法则一定是简而美的。从这个意义上看,确实可以说“天若不生欧几里得,万古如长夜”了。

好了,这次的故事就到这儿吧,希望你能喜欢。

改变世界的这几本书,厚度其实是这样的……

本期编辑:白水

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